サイト移転、GoogleSearchConsoleはどうなる？
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サイトを別のサーバーに移行したら、今の Google Search Console はどうなる？
そのまま使える？ -
はい。
運営中のサイトを、そのまま別のサーバーへ移行するだけでしたら、今お使いの Google Search Console は継続して使えます。
ドメインが今のままで、且つ、「http://」のまま、または、「https://」のままであれば、Google Search Console としては同じサイトですので、今お使いの Google Search Console は、特に何もしなくても、継続して使えます。
もし、ドメインが変わる場合は、別サイトですので、Google Search Console へ追加登録が必要です。
また、もし、サイト移行と同時に、HTTPS移行（常時SSL化）する場合は、Google Search Console へ「https://」サイトを追加登録する必要があります。
めったに無いと思われますが、その逆の、「https://」→「http://」の場合も、同様に追加登録する必要があります。