サブディレクトリを別サーバーで運営できる？
- サブディレクトリ（https://example.com/sub1/）で運営しているサイトを、別のWebサーバーに移行して、同じURLで動かしたいのですが、できますか？
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専用サーバーやAWSでは可能なようですが、今お使いの共用サーバーではできません。
サブドメイン（例：https://sub1.example.com/）や、別のドメイン（例：https://example2.com/）での運営をお勧めします。
現在、レンタルサーバー（共用サーバー）にて、一般公開用のサイト（https://example.com/）と、社内情報共有用WordPressサイト（https://example.com/sub1/）の2つを運営していて、そのサブディレクトリ（下層ディレクトリ）サイトの方を、
- 新たに契約する別のレンタルサーバー（共用サーバー）に移行したい
- できれば、今と同じURLで運用したい
というご希望で、そういったことが可能かどうかの質問でした。
別のWebサーバーに移行したとしても、残念ながら共用サーバーでは、同じURLで運用することはできません。
移行したサイトを、サブドメイン（例：https://sub1.example.com/）や、別のドメイン（例：https://example1.com/）で運営することは可能ですので、そちらをご検討されてはいかがでしょうか。
なお、今お使いのサーバーが、専用サーバーや仮想専用サーバー（VPS）でしたら、難易度はともかく可能ではあるようです。
また、今お使いのサーバーが、AWS（Amazon Web Services）でしたら、ALB（Application Load Balancer）を利用して設定できるようです。